נתון
- משולש \(\triangle ABC\) כאשר \(AB = AC\)
- נקודה \(D\) נמצאת על הצלע \(AB\)
- \[CD = BC\]
א. הוכח כי \(\triangle BCD \sim \triangle BAC\)
שלב 1 – זוויות בסיס של משולש שווה שוקיים \(\triangle ABC\):
מכיוון ש-\(AB = AC\), המשולש שווה שוקיים, ולכן:
\[\angle ABC = \angle ACB\]נסמן \(\angle BAC = 2\alpha\), ולכן:
\[\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 2\alpha}{2} = 90° - \alpha\]שלב 2 – זוויות בסיס של משולש שווה שוקיים \(\triangle BCD\):
מכיוון ש-\(BC = CD\), גם \(\triangle BCD\) שווה שוקיים, ולכן:
\[\angle CBD = \angle CDB\]אולם \(\angle CBD = \angle ABC = 90° - \alpha\), ולכן:
\[\angle CDB = 90° - \alpha\]שלב 3 – הזווית השלישית ב-\(\triangle BCD\):
\[\angle BCD = 180° - \angle CBD - \angle CDB = 180° - 2(90° - \alpha) = 2\alpha\]שלב 4 – הוכחת הדמיון:
| \(\triangle BCD\) | \(\triangle BAC\) | נימוק |
|---|---|---|
| \(\angle B = 90°-\alpha\) | \(\angle B = 90°-\alpha\) | זווית משותפת |
| \(\angle BCD = 2\alpha\) | \(\angle BAC = 2\alpha\) | הוכח לעיל |
לפי זז (AA): \(\boxed{\triangle BCD \sim \triangle BAC}\) ✓
ב. הביעו באמצעות \(\alpha\)
נזכר: \(\angle A = 2\alpha\), ו-\(D\) נמצאת על הצלע \(AB\).
1. \(\angle ADC\)
\(D\) על הצלע \(AB\), ולכן הזוויות \(\angle BDC\) ו-\(\angle ADC\) משלימות ל-\(180°\).
\[\angle BDC = 90° - \alpha \quad \Rightarrow \quad \angle ADC = 180° - (90° - \alpha)\] \[\boxed{\angle ADC = 90° + \alpha}\]2. \(\angle ACD\)
מכיוון ש-\(D\) נמצאת על \(AB\), הזווית \(\angle ACB\) מתפצלת:
\[\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB\] \[90° - \alpha = \angle ACD + 2\alpha\] \[\boxed{\angle ACD = 90° - 3\alpha}\]ג. נתון: \(AD = CD\). מצאו את \(\alpha\)
מכיוון ש-\(AD = CD\), המשולש \(\triangle ACD\) שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שלו שוות:
\[\angle DAC = \angle DCA\]נציב את הביטויים שמצאנו:
\[\angle DAC = \angle BAC = 2\alpha\] \[\angle DCA = \angle ACD = 90° - 3\alpha\]לכן:
\[2\alpha = 90° - 3\alpha\] \[5\alpha = 90°\] \[\boxed{\alpha = 18°}\]