מטרות
- להכיר ולהבין את שלבי הפתרון של בעיות קיצון
- להתמקד בהגדרת פונקציית המטרה ובניסוח הנקודה כ־ \((t, f(t))\)
- תרגול יישום השלבים על בעיות פשוטות’
בעיות קיצון הן בעיות שבהן אנחנו מחפשים נקודות מקסימום או מינימום של פונקציה מסוימת, המכונה “פונקציית מטרה”. הפונקציה הזו מתארת קשר בין המשתנים השונים בשאלה. השלב הראשון והחשוב ביותר הוא להגדיר במדויק את פונקציית המטרה.
שלבים מרכזיים פתרון בעיות קיצון
- הגדרת המשתנים: הגדירו משתנים באופן ברור, סימון \((t, f(t))\).
- בניית פונקציית המטרה: הבנה מעמיקה של השאלה ובניית פונקציית מטרה שתתאר את הכמות שאותה אנו רוצים למקסם או למזער.
- מציאת נקודות קיצון: גזרו את פונקציית המטרה והשוו לאפס כדי למצוא נקודות קיצון.
חשוב: אנחנו לא מחפשים קיצון בפונקציה שנתונה לנו אלא יוצרים פונקציה אחרת, פונקציית מטרה שמייצגת את הבעיה המילולית ועבורה נמצא קיצון
שלבים משניים
שלבים משניים
- מציאת תחום הגדרה: בדקו אילו ערכים יכולים המשתנים לקבל מבחינה מציאותית. הדגישו תמיד שהנקודה המבוקשת צריכה להיות מתוארת כ- \((t, f(t))\).
- בדיקת שהנקודה היא אכן מינ’ או מקס כנדרש: ודאו שהפתרונות אכן מתאימים לבעיה לתחום ההגדרה. לעיתים נדירות ביותר יהיה קיצון בקצוות. אבל יתכן בהחלט שישאלו על זה במפורש
שאלות בנושא בעיות קיצון בפונקציות
השאלות הבאות עוסקות במציאת נקודות על פונקציה מהן מורידים אנכים לצירים, ליצירת צורות שהיקפן, שטחן או מרחקיהן יהיו מקסימליים או מינימליים.
שאלה 1
נתונה הפונקציה:
\[f(x) = -x^2 + 10x\]הנקודה \(A\) נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה. מנקודה \(A\) מורידים אנכים לצירים. מצאו את שיעור ה-\(x\) של נקודה \(A\) שבעבורה סכום אורכי האנכים יהיה מקסימלי.
פתרון
שלבי הפתרון
-
הגדרת נקודה A על הגרף
נניח שהקו־איקס של נקודה A הוא \(t\).
מכיוון ש-A נמצאת על גרף הפונקציה \(f(t)=-t^2+10t\), קואורדינטותיה הן
\(A\bigl(t,\;f(t)\bigr)\;=\;\bigl(t,\;-t^2+10t\bigr).\) - חישוב אורכי האנכים לצירים
- האנך מ-A לציר ה־(y) הוא קו אופקי; אורכו הוא פשוט ערך ה־(x) של A, כלומר
\(y\text{אנך ל־}:\quad |\,t-0\,| = t\quad(t>0 \text{מאחר ש }).\) - האנך מ-A לציר ה־(x) הוא קו אנכי; אורכו הוא ערך ה־(y) של A, כלומר
\(x\text{אנך ל־}:\quad |\,f(t)-0\,| = -t^2+10t\quad(\text{מאחר }f(t)>0).\)
- האנך מ-A לציר ה־(y) הוא קו אופקי; אורכו הוא פשוט ערך ה־(x) של A, כלומר
-
הגדרת פונקציית המטרה (T)
סכום אורכי שני האנכים הוא הפונקציה
\(T(t)=\underbrace{t}_{y\text{אנך ל־}}\;+\;\underbrace{(-t^2+10t)}_{x\text{אנך ל־}} \;=\;-x^2+11x.\) -
קביעת תחום ההגדרה
מאחר ש-A ברביע הראשון, חייבים להתקיים
\(x>0 \quad\text{ו}\quad f(x)=-x^2+10x>0 \quad\Longrightarrow\quad 0<t<10.\) -
גזירת פונקציית המטרה והשוואה לאפס
נגזור את (T(t)):
\(T'(t)=-2t+11.\)
נמצא נקודת קיצון בפתרון
\(-2t+11=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{t=\frac{11}{2}=5.5}\) - בדיקת סוג הקיצון
נגזרת שנייה:
\(T''(t)=-2<0,\)
כלומר מדובר במקסימום, כרצוי
תוצאה סופית
הקו־איקס של נקודה A בעבורו סכום אורכי האנכים מקבל ערך מקסימלי הוא
\(\boxed{x=5.5.}\)
שאלה 2
נתונה הפונקציה:
\[y = 3x + \frac{1}{x}, \quad x > 0\]נקודה \(C\) נמצאת על גרף הפונקציה. מצאו את שיעור ה-\(x\) של נקודה \(C\) שבעבורו סכום השיעורים של הנקודה יהיה מינימלי.
פתרון
שאלה 3
נתונה הפרבולה:
\[y = -x^2 + 3x\]הנקודה \(A\) נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה. דרך הנקודה \(A\) מעבירים אנך לציר ה-\(x\) החותך אותו בנקודה \(B\).
א. הביעו באמצעות \(x\) את האורכים \(OB\) ו-\(AB\), כאשר \(O\) היא ראשית הצירים.
ב. מצאו מה צריך להיות שיעור ה-\(x\) כדי ששטח המשולש \(ABO\) יהיה מקסימלי.
פתרון
שיעור ה-\(x\) הוא \(1.5\).
שאלה 4
נתונה הפונקציה:
\[f(x) = 5 - x\]הנקודה \(A\) נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה. מורידים אנכים לצירים ונוצר מלבן \(ABOC\). מה צריך להיות שיעור ה-\(x\) של נקודה \(A\) כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?
שאלה 5
נתונה הפונקציה:
\[f(x) = \frac{1}{2x} + 1\]ונתון הישר:
\[y = -x + 2\]הנקודה \(A\) נמצאת על הישר, והנקודה \(B\) נמצאת על גרף הפונקציה כך שהקטע \(AB\) מקביל לציר ה-\(y\).
א. מה צריך להיות שיעור ה-\(x\) של נקודה \(A\) כדי שאורך הקטע \(AB\) יהיה מינימלי?
ב. מצאו את האורך המינימלי של הקטע \(AB\).
ג. רשות. אם אין מגבלה של רביע, ניתן למצוא פתרון עבורו ערך הקטע קצר יותר. מהו השיעור ה- \(x\) של הנקודה במקרה זה?