א1.הפונקציה מוגדרת כאשר \( x^2+9\ge0\). זוהי פרבולה מרחפת שכן איבר אחד חיובי והשני אי שלילי. מכאן שהיא מוגדרת לכל \( x\).
א2. נגזור:
\[f'(x)=\frac{\cancel{2}ax}{\cancel{2}\sqrt{ax^2+9}}\]
\[f''(x)=\frac{a\sqrt{ax^2+9}-\frac{2ax\cdot ax}{2\sqrt{ax^2+9}}}{ax^2+9}=\frac{2a(ax^2+9)-2a^2x^2}{a\sqrt{ax^2+9}\cdot(ax^2+9)}=\frac{18a}{a\sqrt{ax^2+9}\cdot(ax^2+9)}>0\]
ולכן אין פיתול (מונה חיובי תמיד ומכנה חיובי תמיד בת”ה)
ב1. הנגזרת מוגדרת גם היא לכל \( x\) מאותה הסיבה שב-א1. הנגזרת עולה/יורדת לפי חיוביות/שליליות הנגזרת השניה ולכן עולה לכל \( x\).
ועל זה שאין לי דרך לשרטט כאן לא ממש חשבתי. אז מחילה אבל אין שרטוט.
שימו לב לשרטוט בתשובות, שנובע מכך שלנגזרת אסימפטוטות אסימטריות:
\[x\to\infty ⟹\boxed{y=\sqrt{a}}, x\to-\infty ⟹\boxed{y=-\sqrt{a}}\]
שניתנות לקביעה לפי יחס מקדמים, אך רצוי בהרבה בהצבות בממחשבון
ג. סעיף שטח - לא נדרש כרגע