פתרון —

\(f(x)=x^{n}(x+1)^2,\ \ n\in\mathbb{N},\ n>1\)

א. נקודות חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה-\(x\):
\[x^n(x+1)^2=0\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{או}\ x=-1\]
לכן \((-1,0)\) ו-\((0,0)\).
חיתוך עם ציר ה-\(y\): \(x=0\Rightarrow f(0)=0\), כלומר שוב \((0,0)\).

ריבוי שורשים: ב-\(x=-1\) הריבוי \(2\) (תנאי מגע), וב-\(x=0\) הריבוי \(n\) (מגע אם \(n\) זוגי, חצייה אם \(n\) אי־זוגי).

שכן \((x+1)^2\ge 0\) לכל \(x\), סימן \(f\) נקבע ע״י \(x^n\) (מלבד באפסים).

\(n\) זוגי: \(x^n\ge 0\Rightarrow f(x)\ge 0\) לכל \(x\). חיובית ממש בכל \(\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}\); אין שליליות.
\(n\) אי־זוגי: סימן \(f\) הוא סימן \(x\).
\[\begin{cases} f(x)<0,& x\in(-\infty,-1)\cup(-1,0),\\[2pt] f(x)>0,& x\in(0,\infty). \end{cases}\]

נגזור ונפרק גורמים:

\[\begin{aligned} f'(x) &=n x^{\,n-1}(x+1)^2+2x^n(x+1)\\ &=x^{\,n-1}(x+1)\big((n+2)x+n\big). \end{aligned}\]

לכן נקודות חשודות: \(\boxed{x=-1,\ \ x=0,\ \ x=-\frac{n}{n+2}}\) (שימו לב: \(-1<-\tfrac{n}{n+2}<0\)).

נבדיל לפי זוגיות \(n\):

סימן \(x^{\,n-1}\) הוא סימן \(x\). תרשים סימנים של \(f'\):

\[\begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,-\tfrac{n}{n+2}) & (-\tfrac{n}{n+2},0) & (0,\infty)\\ \hline f'(x) & - & + & - & + \end{array}\]

מסקנה:

כאן \(x^{\,n-1}\ge 0\) משני צדי \(0\), ולכן סימן \(f'\):

\[\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,-\tfrac{n}{n+2}) & (-\tfrac{n}{n+2},\infty)\\ \hline f'(x) & + & - & + \end{array}\]

מסקנה:

\(\ x=-1\): מקסימום מקומי (ערך \(0\); מגע עם ציר \(x\) מלמטה).
\(\ x=-\dfrac{n}{n+2}\): מינימום מקומי.
\(\ x=0\): \(f'(0)=0\) אך אין קיצון (נקודת אוכף/אינפלציה; הגרף חוצה את הציר כי \(n\) אי־זוגי).

עבור \(n\) זוגי: דרגת \(f\) היא \(n+2\) זוגית, ולכן שתי הזרועות עולות; לשני האפסים ריבוי זוגי ⇒ מגע ב-\(-1\) וב-\(0\). זהו גרף III.
עבור \(n>1\) אי־זוגי: הדרגה אי־זוגית (זרוע שמאל יורדת, ימין עולה), מגע ב-\(-1\) וחצייה ב-\(0\). זהו גרף I.
גרף II אינו מתאים (מציג חצייה ב-\(-1\) בניגוד לריבוי \(2\), ו/או התנהגות קצוות שאינה עקבית).

נסמן \(T\) את השטח הכלוא בין גרף \(f\) לבין ציר \(x\). השטח המוגבל הוא על הקטע \([-1,0]\):

\[T=\int_{-1}^{0}\!|f(x)|\,dx.\]

במעבר ל-\(g\):

ההזזה \(x\mapsto x-2\) היא הזזה אופקית — אינה משנה שטח;
הכפלה אנכית ב-\(a>0\) מגדילה את כל הערכים פי \(a\) — מכפילה את השטח פי \(a\).

לפיכך

\[\boxed{\,T' = a\,T\,}.\]