אנליטית מעגל

שאלה 8

נתון המעגל: \(5x^2+5y^2+10x-13=0\) והוא חסום בריבוע (כלומר: המעגל משוקע בתוך הריבוע ונוגע בכל צלע), כאשר אחת מצלעות הריבוע היא: \(x+3y+k=0\)

---

א. מציאת (k)

נחלק ב־5: \(x^2+y^2+2x-\frac{13}{5}=0\)

נשלים ריבוע ב־(x): \((x+1)^2+y^2=\frac{13}{5}+1=\frac{18}{5}\)

לכן מרכז המעגל: \(C(-1,0)\) ורדיוס המעגל: \(r=\sqrt{\frac{18}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}\)

הצלע (x+3y+k=0) משיקה למעגל, לכן מרחק המרכז מן הישר שווה לרדיוס: \(\frac{|(-1)+3\cdot 0+k|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|k-1|}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}\)

נכפול ב־(\sqrt{10}): \(|k-1|=\frac{3\sqrt{10}}{5}\cdot\sqrt{10}=\frac{3\cdot 10}{5}=6\)

מכאן: \(k-1=\pm 6 \;\;\Rightarrow\;\; k=7 \;\;\text{או}\;\; k=-5\)

תשובה (א): \(k\in\{7,-5\}\)

---

ב. מציאת משוואות צלעות הריבוע

צלע אחת היא מהצורה (x+3y+k=0). שתי הצלעות המקבילות לה (הנוגעות במעגל משני הצדדים) מתקבלות עבור שני ערכי (k): \(x+3y+7=0\) \(x+3y-5=0\)

כעת נבנה את הזוג המאונך להן.

שיפוע (x+3y+k=0) הוא: \(y=-\frac{1}{3}x-\frac{k}{3}\;\;\Rightarrow\;\; m=-\frac{1}{3}\) לכן השיפוע המאונך הוא: \(m_\perp=3\)

ישר בשיפוע (3) נכתוב בצורה: \(3x-y+c=0\)

גם כאן המרחק מ־(C(-1,0)) צריך להיות (r): \(\frac{|3(-1)-0+c|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{|c-3|}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}\) ולכן: \(|c-3|=6 \;\;\Rightarrow\;\; c=9 \;\;\text{או}\;\; c=-3\)

כלומר שתי הצלעות המאונכות הן: \(3x-y+9=0\) \(3x-y-3=0\)

תשובה (ב) — ארבע צלעות הריבוע: \(x+3yy+7=0,\quad x+3y-5=0,\quad 3x-y+9=0,\quad 3x-y-3=0\)