פתרון השאלה מארכימדס לכיתה ח’ עמ’ 254
במערכת הצירים נתונים הגרפים 1, 2, ו־3. נתונות הפונקציות:
\[f(x)=-3x+2,\qquad g(x)=2x-3,\qquad h(x)=-x+6\]א. קבעו איזו פונקציה מתאימה לכל גרף.
ב. מצאו את שיעורי הנקודות (A) ו־(B).
ג. באיזה תחום גרף הפונקציה \(g(x)\) נמצא מעל גרף הפונקציה \(h(x)\)?
ד. פתרו את אי השוויון: \(f(x) < h(x)\).
ה. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של לפחות 2 פונקציות.
פתרון
א. התאמת פונקציה לגרף
- גרף 1 הוא קו עולה (שיפוע חיובי) ⟵ מתאים ל־\(g(x)=2x-3\).
- גרף 2 הוא קו יורד מתון (שיפוע שלילי קטן) ⟵ מתאים ל־\(h(x)=-x+6\).
- גרף 3 הוא קו יורד תלול (שיפוע שלילי גדול במוחלט) ⟵ מתאים ל־\(f(x)=-3x+2\).
ב. מציאת הנקודות \(A\) ו־\(B\)
הנקודה \(A\) היא החיתוך של גרפים 1 ו־2, כלומר של \(h\) ו־\(g\):
\[2x-3=-x+6 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3\] \[y=g(3)=2\cdot3-3=3\]לכן:
\[\boxed{A=(3,3)}\]הנקודה (B) היא החיתוך של גרפים 2 ו־3, כלומר של \(h\) ו־\(f\):
\[-3x+2=-x+6 \Rightarrow -2x=4 \Rightarrow x=-2\] \[y=h(-2)=-(-2)+6=8\]לכן:
\[\boxed{B=(-2,8)}\]ג. תחום שבו (g(x)) מעל (h(x))
נפתור:
\[g(x)>h(x)\] \[2x-3>-x+6 \Rightarrow 3x>9 \Rightarrow x>3\]כלומר, גרף (g) נמצא מעל (h) עבור:
\[x>3\]ד. פתרון אי־השוויון \(f(x) < h(x)\)
\[-3x+2 < -x+6\] \[-2x < 4\]מחלקים ב־(-2) ומחליפים כיוון:
\[\boxed{x > -2}\]ה. תחומי החיוביות והשליליות של לפחות 2 פונקציות
נמצא נקודת אפס לכל פונקציה:
1) \(f(x)=-3x+2\)
\[-3x+2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3}\]- חיובית: \(x<\frac{2}{3}\)
- שלילית: \(x>\frac{2}{3}\)
2) \(g(x)=2x-3\)
\[2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}\]- חיובית: \(x>\frac{3}{2}\)
- שלילית: \(x<\frac{3}{2}\)
3) \(h(x)=-x+6\)
\[-x+6=0 \Rightarrow x=6\]- חיובית: \(x<6\)
- שלילית: \(x>6\)
3 שאלות דומות (ללא פתרון)
שאלה 1
במערכת הצירים ציירו את הגרפים של הפונקציות הבאות:
\[f(x)= -2x+4,\qquad g(x)=x-1,\qquad h(x)=-x-2\]א. קבעו איזו פונקציה מתאימה לכל גרף.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך \(A\) , \(B\) ו- \(C\)
ג. באיזה תחום גרף הפונקציה \(g(x)\) נמצא מעל גרף הפונקציה \(h(x)\)?
ד. פתרו את אי השוויון: \(f(x)≤ h(x)\).
ה. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של לפחות 2 פונקציות.
שאלה 2
במערכת הצירים ציירו את הגרפים של הפונקציות הבאות:
\[f(x)= -4x+1,\qquad g(x)=3x+2,\qquad h(x)=-x+5\]א. קבעו איזו פונקציה מתאימה לכל גרף.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך \(A\) , \(B\) ו- \(C\)
ג. באיזה תחום גרף הפונקציה \(g(x)\) נמצא מעל גרף הפונקציה \(h(x)\)?
ד. פתרו את אי השוויון: \(f(x) > h(x)\).
ה. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של לפחות 2 פונקציות.
שאלה 3
במערכת הצירים ציירו את הגרפים של הפונקציות הבאות:
\[f(x)= -3x-3,\qquad g(x)=2x+1,\qquad h(x)=-\frac{1}{2}x+4\]א. קבעו איזו פונקציה מתאימה לכל גרף.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך \(A\) , \(B\) ו- \(C\)
ג. באיזה תחום גרף הפונקציה \(g(x)\) נמצא מעל גרף הפונקציה \(f(x)\)?
ד. פתרו את אי השוויון: \(f(x) < h(x)\).
ה. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של לפחות 2 פונקציות.