הסתברות

הגדרות בסיס

• מרחב המדגם (Ω) – קבוצת כל התוצאות האפשריות של ניסוי מסוים.
• מאורע (A) – תת-קבוצה אפשרית מתוך מרחב המדגם.

• הסתברות (P) – הסיכוי שמאורע יתרחש. ההסתברות להתרחשות מאורע A נתונה על-פי הנוסחה:

  \[P(A) = \dfrac{\lvert A\rvert}{\lvert \Omega\rvert}\]
  למה |A| ככה? + דוגמא

  הסימן ערך מוחלט משמש כאן לסימון “עוצמה” (כמות האיברים בקבוצות A, Ω). לא ניתקל בו יותר מדי.

  דוגמה – הטלת קוביה:

  • מרחב המדגם Ω = ({1,2,3,4,5,6})
  • המאורע “יצא 5 לפחות בקוביה” = ({5,6})
  • העוצמות: \(\lvert \Omega\rvert = 6, \lvert \{5,6\}\rvert = 2\)
  • לכן: \(P(\text{יצא 5 לפחות בקוביה}) = \dfrac{\lvert \{5,6\}\rvert}{\lvert \Omega\rvert} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

• כל הסתברות היא בטווח \(0 \leq P(A) \leq 1\)

• מאורע משלים \((\overline{A})\) – כל האפשרויות במרחב המדגם שאינן שייכות ל-A.
  \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)

• חיתוך מאורעות \((A \cap B)\) – המאורע שבו התוצאה משותפת גם ל-A וגם ל-B.
  ↲ כופלים בין הסתברויות.

  דוגמא ודיוק

  כך למשל, הסיכוי להוציא 3 בקוביה הוא \(\frac{1}{6}\) והסיכוי להוציא פעמיים רצוף 3 הוא \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} \\ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)\;\overset{\text{אמ״מ}}{\iff}\;\text{בלתי תלויים B -ו A}\)

  נגדיר “בלתי תלויים” בהמשך

• מאורעות זרים – מאורעות שאין להם תוצאות משותפות \((A \cap B)=\varnothing\), ולכן
  \(P(A \cap B) = 0\)

  דוגמא

  שקית מכילה 3 כדורים אדומים ו־2 כדורים כחולים. \(\begin{aligned} Ω &= \{🔴_1,🔴_2,🔴_3,🔵_1,🔵_2\},\\ A &= \{🔴_1,🔴_2,🔴_3\},\\ B &= \{🔵_1,🔵_2\} \end{aligned}\)

  כיוון ש-\(A \cap B = \varnothing\), מתקיים:

  \[P(A \cap B) = \dfrac{0}{5} = 0\]

  הערה: אין שום צורך דרישה ברמת פירוט כזו. הרישום המספק הוא זה המופיע בפתרונות בגרויות שלי.

• איחוד מאורעות \((A \cup B)\): מאורע הכולל את כל התוצאות ששייכות ל-A או ל-B.
  ↲ מחברים בין הסתברויות.

  דיוק

  \(P(A \cup B) = P(A)+(B) - P(A \cap B)\) נעמיק בכך בהמשך

---

מאורעות תלוים	מאורעות בלתי תלוים
מאורעות A-ו-B “תלויים” אם ההתרחשות של מאורע A משפיעה על ההסתברות להתרחשות של מאורע B.	מאורעות A-ו-B “בלתי תלוים” אם התרחשות מאורע A אינה משפיעה על ההסתברות להתרחשות של מאורע B.

שאלות הנפתרות בעזרת עץ:

• בשאלת עץ יבוצעו מספר ניסויים/שלבים (למשל שתי יריות, שתי שליפות של כדור משק).
• בונים עץ המייצג את כל האפשרויות

כללים:

1. כל ניסוי מקבל קומה בעץ.
2. סכום ההסתברויות של הענפים בכל קומה הוא 1.
3. לצד כל ענף נרשום את ההסתברות המתאימה לו.
4. במורד הענפים כופלים, כדי לקבל את ההסתברות הסופית של כל קצה.
5. שימוש במשלים: כשנתיבים רבים מתאימים נעדיף לחשב 1 מינוס ההסתברות של אלו שלא רצויים.