סדרה הנדסית

סדרה

הגדרה ידידותית: סדרה היא רצף של איברים (מספרים) שיש ביניהם חוקיות.

איבריה מסומנים ב־ \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\)

האיבר הראשון מסומן ב־ \(a_1\)

והאיבר הכללי במקום ה־\(n\) מסומן ב־\(a_n\)

הערה

במתמטיקה, סדרה היא קבוצה סדורה של עצמים. קבוצת איברים שמוגדר בינהם סדר (מי הראשון, השני וכן הלאה). האיברים לא חייבים לקיים בינהם חוקיות, ולא חייבים להיות מספרים. בתיכון, ביא’ הסדרות הן של מספרים ממשיים (וביב’ מספרים מרוכבים), ומתקיימת חוקיות.

הנה לדוגמא סדרה שאינה רלוונטית לנו: \(a_1=🍔, a_2=👍, a_3=😀\)

סדרה חשבונית

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים שבה ההפרש \(d\) בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע.

• כאשר ההפרש חיובי, הסדרה היא חשבונית עולה.
• כאשר ההפרש שלילי, הסדרה היא חשבונית יורדת.
• כאשר ההפרש אפס, הסדרה החשבונית נקראת קבועה.

נוסחת האיבר הכללי של הסדרה: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

הרחבה

כלל הנסיגה של סדרה חשבונית (הכלל המקשר שני איברים עוקבים) הוא:

\[a_{n+1} = a_n + d\]

כדי להוכיח שסדרה היא חשבונית נוכיח כי מתקיים:

\[a_{n+1} - a_n = d\]

סדרה הנדסית

בסדרה הנדסית, היחס (q) בין שני איברים עוקבים הוא קבוע (המנה קבועה):

סוגי סדרות הנדסיות

\(q < 0\)	\(0 < q < 1,\;a_1 < 0 \\ \text{או}\; q > 1,\;a_1 > 0\)	\(0 < q < 1,\;a_1 > 0 \\ \text{או}\; q > 1,\;a_1 < 0\)
הנדסית עם סימנים מתחלפים	סדרה הנדסית עולה	סדרה הנדסית יורדת

הרחבה

כאשר \(\lvert q\rvert < 1\) הסדרה מתכנסת לאפס, ואילו כאשר \(\lvert q\rvert > 1\) הסדרה מתבדרת באין־סוף (עם סימנים מתחלפים אם \(q<0\)).

אם נקבל פתרון \(q=1\) נוכל לפסול אותו משום שהוא מוביל לסדרה הנדסית קבועה (לא בשאלון). מקובל להתייחס לסדרה כזו כאל סדרה שהיא הנדסית (עונה להגדרה), אך גם חשבונית (שוב, עונה להגדרה).

הרחבה

בדרך כלל ניתן יהיה לפסול עוד ערכים של \(q\) (אם הם בסתירה לנתונים בשאלה). נקבל יותר מ-\(q\) אחד במקרים של משוואה ריבועית. לעיתים נדירות, אין מידע בשאלה שמאפשר לפסול אחד מהם, ויש להמשיך עם שניהם.

אם מתקבל \(q=0\) ניתן גם כן לפסול. זה מצב בו היחס אינו מוגדר (לא ניתן לחשב את ההופכי שלו למשל). ניתן לראות בכך מצב מנוון בו האיבר הראשון שונה מ-0 ושאר האיברים הם אפס. מפתיע לגלות שנוסחאות סכום סדרה עובדות גם במקרה הזה.

נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית: \(a_n=a_1·q^{n-1}\)

סכום האיברים במקומות הזוגיים והאי-זוגיים בסדרה

בסדרה הנדסית \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}\) שמנתה \(q\) ומספר האיברים זוגי, כלומר \(2n\). קיימות 2 תתי סדרות:

סדרת האיברים במקומות הזוגיים, וסדרת האיברים במקומות האי-זוגיים. בכל פעם מדלגים עלי איבר ולכן מנת כל אחת מתתי הסדרות היא \(q^2\)

הרחבה

מספר האיברים במקומות הזוגיים ובמקומות האי-זוגיים הוא בדיוק (n). המנה היא:

\(\frac{a_{n+2}}{a_n} = \frac{a_n·q^2}{a_n} = q^2\)

החלפת סימנים של איברים בסדרה הנדסית

בסדרה שמנתה \(q\) כאשר מחליפים את סימני האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים או האי-זוגיים, מתקבלת סדרה הנדסית חדשה שמנתה: \(-q\).

הרחבה

ניתן להוכיח זאת על ידי השוואת נוסחת האיבר הכללי לפני ואחרי ההחלפה ובחינת היחס בין איברים עוקבים.

הקשר בין שלושה איברים עוקבים

אם \(a, b, c\) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, אז:

\[\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \;\Longrightarrow\; b^2 = ca \;\Longrightarrow\; b = ±\sqrt{ca}\]

בסדרה הנדסית, כל איבר הוא ממוצע הנדסי של האיבר שלפניו והאיבר שאחריו (וגם של כל זוג איברים הנמצאים במרחקים שווים לפניו/אחריו). לא ניתן להשתמש במשפט הזה אך רצוי להבין אותו.

סכום (\(n\) הראשונים)

בסדרה הנדסית עם איבר ראשון (a_1) ומנה (q), סכום (n) האיברים הראשונים הוא: \(S_n \;=\;\dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \qquad(q \neq 1).\)

במקרה בו \(q = 1\) (סדרה קבועה), מתקבל פשוט: \(S_n = n\,a_1\).

הוכחה קצרה

כדי לחשב \(S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n-1}\),
נכפול ב־ \(q\) ונחסר משוואות:

\[\begin{aligned} qS_n &= a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^n,\\ S_n - qS_n &= a_1 - a_1q^n,\\ S_n(1 - q) &= a_1(1 - q^n),\\ S_n &= a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1} \end{aligned}\]

סכום \(n\) האיברים הראשונים והאחרונים בסדרה

בשאלות כאלו (ובאופן כללי בסדרה הנדסית) נפתור באמצעות חלוקת סכומים. במקרים חריגים נעדיף לחסר \(S_{2n}-S_n\).

בשאלות עם מספר אי-זוגי של איברים \((2n+1)\): נשים לב שהאיבר האמצעי הוא \(a_{n+1}\). האינדקס שלו הוא ממוצע האינדקסים של הראשון והאחרון. חשוב להבין מי הראשון מבין האחרונים:

\(a_1,\;\dots,\;a_n,\; \underbrace{a_{n+1}}_{\substack{\text{האיבר}\\\text{האמצעי}}}, \underbrace{a_{n+2}}_{\substack{\text{הראשון מבין}\\\text{האחרונים}}}, \dots,a_{2n+1}\)

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה אינסופית מתכנסת היא סדרה שמנתה \(-1<q<1, q≠0\)

סוגי סדרות אינסופיות מתכנסות

\(-1 < q < 0\)	\(0 < q < 1,\;a_1<0\)	\(0 < q < 1,\;a_1>0\)
סדרה אינסופית בסימנים מתחלפים	סדרה אינסופית עולה	סדרה אינסופית יורדת

סכום סדרה אינסופית מתכנסת

אם \(0≠\lvert q \rvert<1\), אז יש לסדרה סכום סופי (עבור אין סוף איברים):

הרחבה

אם \(\lvert q \rvert≥1\), הסדרה אינה מתכנסת וסכומה אינו מוגדר. המונח מתכנסת כאן מתייחס להתכנסות ל-0 ולא לערך גבול אחר כגון 1.

סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה

סדרות כלליות אינן במיקוד תשפ”ה. אם נתונה הגדרה לסדרה היא לא אמורה להיות בכלל נסיגה, אלא

• בנוסחה המקשרת סדרה אחת לסדרות אחרות כגון: \(b_k=a_k+a_{k+1}+a_{k+2}\)
• בנוסחה מפורשת כגון: \(\)

הוכחה שסדרה היא הנדסית

בכל המקרים הללו, ובגם במקרים בהם נתון ממש כלל נסיגה (לא אמור לקרות) או נוסחה מפורשת (יתכן), הוכחת סדרה הנדסית היא באותו תהליך:

1. הקפצת אינדקס: אם נתון \(a_{n}=b_{n+5}\) נבטא את \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = b_{n+1+5}=b_{n+5}q\)
2. חישוב המנה שאנו רוצים להוכיח שהיא קבועה: \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\;=\;\frac{b_{n+5}\,q_b}{b_{n+5}}\;=\;\underset{\text{קבוע ולכן הנדסית}}{q_b}\)

דוגמאות להבהרה מהו כלל נסיגה ומהי נוסחה מפורשת:

כלל נסיגה לדוגמא: לא במיקוד* \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\, n>2\) בתנאי התחלה \(a_1=1, a_2=1\) זו סדרת פיבונאצ’י.

נוסחה מפורשת: הגדרה התלויה רק ב-\(n\) לא צריך שום מידע נוסף כדי לחשב את האיבר במקום ה-\(n\). לדוגמא: \(a_n=3·2^{n}\)